情境导入：望楼如何传信？
《长安十二时辰》里，长安城的望楼用窗格颜色的组合传递军情——这其实就是一套"二进制编码"。
唐玄宗在位期间，长安有难。城中设有望楼，武侯们通过窗格的颜色切换把情报一站站传到靖安司：每个窗格只有白、蓝两种状态，多个窗格组合起来，就能表示不同的含义。
动手试一试：拨动望楼窗格
点击窗格切换白 / 蓝，观察对应的二进制数与方位。（约定：00=东，01=南，10=西，11=北）
如果窗格更多，能表示多少种信息？
n 个窗格（n 位二进制）共有 2n 种不同组合，可以编码 2n 种信息。这正是"位数越多，能表示的内容越丰富"的原因。
原理：计算机为什么采用二进制？
答案藏在硬件里——计算机的物理基础是电路，而电路最可靠的状态只有两种。
回顾初中物理：一个开关只有断开与闭合两种状态；一盏灯只有灭与亮两种状态。把"断开 / 灭"记为 0，把"闭合 / 亮"记为 1，电路的两种物理状态就与二进制的两个数码一一对应了。
演示：两个开关控制一盏灯
点击开关切换状态，观察电路状态编码与灯泡的变化（本电路为串联：只有两个开关都闭合，灯才会亮）。
| 开关1 | 开关2 | 状态编码 | 灯泡 |
|---|---|---|---|
| 断开 | 断开 | 00 | 灭 |
| 断开 | 闭合 | 01 | 灭 |
| 闭合 | 断开 | 10 | 灭 |
| 闭合 | 闭合 | 11 | 亮 |
再进一步：3 个开关能编码 8 种状态
二进制并不神秘，生活中到处都是
硬币
正面 / 反面，抛硬币做选择就是一次"二进制决策"。
判断题
对 / 错，用 1 和 0 就能统计整张卷子的得分。
开关与灯
开 / 关、亮 / 灭，是所有数字设备的底层语言。
"一生二，二生三，三生万物"——人类发现了二进制的机制，再用它在计算机里表示万事万物。
核心概念：基数、数码与位权
所有进制转换的方法，都建立在"位权"这一个概念之上。
先看熟悉的十进制
推广到任意 R 进制
四种常用进制对照
| 进制 | 基数 R | 可用数码 | 第 i 位的权 | 书写标识 | 典型用途 |
|---|---|---|---|---|---|
| 二进制 | 2 | 0、1 | 2i | 下标 2 或 后缀 B | 计算机内部存储与运算 |
| 八进制 | 8 | 0 ~ 7 | 8i | 下标 8 或 后缀 O | 早期系统、文件权限（Linux） |
| 十进制 | 10 | 0 ~ 9 | 10i | 下标 10 或 后缀 D | 人类日常计数 |
| 十六进制 | 16 | 0~9、A~F | 16i | 下标 16、后缀 H 或 前缀 0x | 内存地址、颜色值、机器码 |
十六进制的"字母数码"
| 十进制 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 | 14 | 15 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 十六进制 | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
| 二进制 | 0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
注意：十六进制中 A~F 分别代表十进制的 10~15，这是为了"一位表示 0~15"而借用字母。
进制互转：两套方法，通吃所有进制
R 进制 → 十进制用「按权展开求和」；十进制 → R 进制用「除 R 取余、倒序排列」。
① R 进制 → 十进制：按权展开求和法
输入一个二进制 / 八进制 / 十六进制数，页面会把它逐位拆开，算出每一位的"权"与"数值"，再求和。
② 十进制 → R 进制：除 R 取余，倒序排列
把十进制数反复除以 R 取余数，直到商为 0，然后把余数从下往上倒着读——最后一步的余数是最高位。
除法竖式（自上而下）
倒序读余数
快捷技巧：8421 法与分组法
掌握原理之后，用技巧可以做到"一眼看出答案"。
① "8421"法（凑数法）—— 二进制 → 十进制 / 十六进制
4 位二进制从高位到低位的权依次是 8、4、2、1。哪一位是 1，就把对应的权加起来；是 0 就跳过。
② 二进制 ↔ 八进制："三缩一，一放三"
因为 23＝8，所以每 3 位二进制恰好对应1 位八进制：二进制转八进制是"三位缩成一位"，反过来是"一位放成三位"。
③ 二进制 ↔ 十六进制："四缩一，一放四"
万能进制转换器
任意输入一种进制的整数，其余三种进制实时呈现（本节只讨论整数转换）。
延伸：进制转换的真实应用 —— 编码
计算机里的一切都要先变成 0/1。这个"变成 0/1 的约定"就是编码。下面这些应用，本质上都是进制转换。
7.1 二维码：把文字变成 0/1 方阵
二维码（QR Code）就是把一串字符，按规则编码成由黑（1）白（0）小方块组成的矩阵。扫码时，手机读取明暗，还原成 0/1，再解码出原文。
编码流程
内容的前 8 个字节
模块矩阵（前 14 行，■=1 黑，·=0 白）
7.2 网页颜色 #RRGGBB：两位十六进制表示一个通道
网页中的颜色用 6 位十六进制表示，如 #FF8800。每两位控制一个通道：红（R）、绿（G）、蓝（B），每通道取值 00~FF，即十进制 0~255。
7.3 字符编码：文字也是数字
计算机不认识"字"，只认识"数"。于是人们约定：给每个字符编一个号（码点），存的时候存这个号——这就是字符编码。ASCII 用 1 个字节（0~127），汉字等多国文字用 Unicode / UTF-8。
7.4 IP 地址与子网掩码：点分十进制其实是二进制
IPv4 地址是 32 位二进制数，为了好记，每 8 位一组转成十进制，写成"点分十进制"。
在线自测
随机生成 8 道题，输入答案后即时判定。可反复"换一批"练习。
课堂小结
| 转换方向 | 方法 | 口诀 |
|---|---|---|
| R 进制 → 十进制 | 按权展开求和：各位数字 × 基数位序 再相加 | 按权展开求和法 |
| 十进制 → R 进制 | 反复除以 R 取余，直到商为 0 | 除基取余，倒序排列 |
| 二进制 ↔ 八进制 | 从右往左每 3 位一组，每组换成 1 位八进制 | 三缩一，一放三 |
| 二进制 ↔ 十六进制 | 从右往左每 4 位一组，每组换成 1 位十六进制 | 四缩一，一放四 |
| 二进制 → 十进制（快算） | 四位一组，权重 8 4 2 1，是 1 就加起来 | 8421 凑数法 |